Моделирование временного ряда

  • Вид работы:
    Курсовая работа (т)
  • Предмет:
    Менеджмент
  • Язык:
    Русский , Формат файла: MS Word 431,83 Кб

Моделирование временного ряда

Оглавление

Введение

. Основные понятия

.1 Случайное блуждание

.2 Геометрическое случайное блуждание

.3 Винеровский процесс

.4 Стохастическое дифференциальное уравнение

.5 Процесс авторегрессии AR(p)

. Оценки волатильности и тренда

.1 Гистограммы значений

.2 Q-Q график

.3 Коэффициенты асимметрии и эксцесса

.4 Вычисление сноса и волатильности

. Метод авторегрессии AR(p)

.1 Моделирование трендов в данных

.2 Моделирование AR(p)

. Фрактальное броуновское движение

. Исследование мультифрактального спектра

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В последнее время в мире все шире идут торговые операции, для
отслеживания и анализа которых приходится применять сложные математические
методы к большим данным. Такие данные нередко имеют вид временных рядов.
Примерами могут быть изменения цен на акции компаний, результаты торгов на
биржах, сводные финансовые показатели разных стран, изменения численности
населения, рост продаж различных товаров в крупных торговых центрах и т.п. Во
многих компаниях существует потребность в прогнозировании и моделировании
временных рядов, особенно в сфере финансов. В работе будет рассмотрен временной
ряд значений валютной пары евро к доллару за последние два года. При торговле
на валютном рынке особенно важно следить и уметь правильно прогнозировать
изменение поведения валюты для того, чтобы своевременно реагировать на ситуацию
и максимизировать прибыль от сделок. В данной работе используются методы
прогнозирования и моделирования поведения временных рядов. Целью работы является
исследование применимости теории стохастических дифференциальных уравнений для
описания финансовых временных рядов. Методом авторегрессии построен прогноз,
выполнено исследование мультифрактальных свойств ряда. В теоретической части
работы проведено рассмотрение основных понятий, таких как временной ряд,
случайное блуждание, геометрическое случайное блуждание, Винеровский процесс,
стохастическое дифференциальное уравнение со сносом. В практической части
работы оценены параметры тренда, волатильности, вычислены коэффициенты эксцесса
и асимметрии, исследована автоковариационная функция, построен прогноз методом
авторегрессии.  Оценивание коэффициента Херста, исследование характеристик
фрактального броуновского движения и его мультифрактальных свойств проведено на
основе построения спектра сингулярности. Вычисления реализованы в программной
среде MATLAB, все этапы исследования
проиллюстрированы графиками.

геометрический блуждание волатильность
мультифрактальный


1. Основные понятия

.1 Случайное блуждание

Временной ряд может представлять собой последовательный набор измерений,
упорядоченных по времени. В работе будет проводиться анализ финансового
временного ряда. Временной ряд будем рассматривать как стохастический процесс.

Стохастический процесс или случайный процесс состоит из хронологически
упорядоченных реализаций случайных величин   . Для простоты предположим,
что процесс начинается в момент времени t = 0
и   . Будут рассмотрены случаи в
дискретном времени, т. е. процессы, которые наблюдаются на равных промежутках
времени t = 0, 1, 2, …. Типичные примеры – ежедневные, ежемесячные или
ежегодные экономические данные, такие как цены на акции, уровень безработицы и
показатели продаж.

Одним из простейших случайных процессов является обычное случайное
блуждание, процесс c приращением   на времени от t − 1 до t,
принимающий значения исключительно +1 или -1. Кроме того, мы предполагаем, что
приращения независимы, одинаково распределены и не зависят от начального
значения . Тогда обычное случайное блуждание
может быть записано как:

,      t=
1, 2, …

 

где , , , … независимы и

 


 

Такие приращения имеют биномиальное распределение. Обобщенное  может принимать конечное или
бесконечное число значений либо принимать значения из непрерывного множества.

 

1.2
Геометрическое случайное блуждание

Существенной идеей, лежащей в основе случайного блуждания, является
предположение о взаимной независимости приращений величины для каждого момента
времени. Однако экономические временные ряды, часто не удовлетворяют этому
предположению. Сезонные колебания абсолютных значений месячных показателей
продаж выше, если средний показатель продаж за год высокий. Напротив,
относительные или процентные изменения стабильны во времени и не зависят от
текущего уровня . Подобно случайному блужданию с независимыми и одинаково
распределенными абсолютными приращениями , геометрическое случайное
блуждание   имеет независимые и одинаково распределенные относительные
приращения

  

1.3
Винеровский процесс

Рассмотрим симметричное случайное блуждание , начинающееся в 0 . Приращения  независимы и одинаково распределены
и

 

 


 

С уменьшением времени между двумя последовательными наблюдениями
приращения процесса становятся меньше. Можно сказать, что рассматривается
стохастический процесс  в непрерывном времени, значения которого увеличивается или
уменьшается на  на шаге времени  с вероятностью . Между этими скачками процесс
постоянен. В момент времени   процесс выглядит так:

,

где приращения  взаимно независимы и принимают значения   или   с вероятностью .

 

Предельный процесс , который мы получаем из  при , имеет следующие свойства:

(1)  распределен нормально (для всех t ≥ 0

(2)   имеет независимые приращения, то есть для 0 ≤ s < t,  не зависит от

(3) Для 0 ≤ s <
t приращения  распределены нормально , то есть их распределение зависит
только от длины t − s наблюдаемого временного интервала (следует из (1) и (2)
свойств и свойств нормального распределения).

Стохастический процесс   непрерывного времени, удовлетворяющий свойствам (1) – (3)
называется Винеровским процессом или Броуновским движением, начинающимся в 0 . Стандартный Винеровский процесс при
 обозначается как .


1.4
Стохастическое дифференциальное уравнение

Поскольку Винеровский процесс колеблется около своего математического
ожидания 0, он может быть аппроксимирован с
помощью симметричных случайных блужданий. Нас интересуют стохастические
процессы в непрерывном времени, которые растут в среднем, т. е. есть тенденция
или снос. Исходя из Винеровского процесса с произвольным , мы получим обобщенный Винеровский
процесс  со сносом  и дисперсией :

 

 

Для приращений на интервале  получаем:

 

Для  запишем дифференциальное уравнение

 

 

В полученном дифференциальном уравнении снос  и дисперсия  постоянны. Однако нам необходимо
моделировать экономический процесс, у которого снос  и дисперсия  зависят от времени и состояния
процесса. Тогда получим такое уравнение:

,

где  коэффициент сноса или тренд,  волатильность.

Тренд – тенденция движения, изменения финансового рынка в определенном
направлении на некотором промежутке времени.

Волатильность – статистический финансовый показатель изменчивости цены
временного ряда, амплитуда цен. В сфере управления финансовыми рисками
волатильность представляет собой меру риска для заданного промежутка времени.
Волатильность определяется стандартным отклонением.

 

1.5
Процесс авторегрессии
AR(p)

В работе также будет проведено прогнозирование временного ряда методом
авторегрессии порядка «p».
Случайный процесс , реализации которого описываются следующим разностным
уравнением

 

 

называется авторегрессионным процессом порядка p или AR(p). Или в более конкретном варианте
авторегрессионная модель временного ряда характеризует линейную зависимость
значений ряда в данный момент от предыдущих значений этого временного ряда и
выражается формулой:

,

где параметры модели авторегрессии, cпостоянная (среднее), а белый шум.


2. Исходные данные и некоторые понятия валютного рынка

В работе проведен анализ и прогнозирование временного ряда валютной пары
евро к доллару. Валютная пара евро к американскому доллару (EUR/USD) является
самой популярной и востребованной валютной парой на валютном рынке.

Евро в этой паре является базовой валютой, а американский доллар
котированной валютой. Курс пары EUR/USD показывает, сколько американских
долларов (котируемой валюты) нужно заплатить, чтобы купить один евро (базовую
валюту).

На изменение курса пары EUR/USD оказывают влияние важные
экономические новости в США, например, данные по безработице, по ВВП, также
необходимо следить за важными заявлениями политических деятелей. На изменение
курса евро влияет более широкий новостной фон, так как любая новость,
касающаяся стран Евросоюза, может привести к изменению курса.

Валютные торги не проводятся по выходным, поэтому для применения методов
анализа, требующих одинакового шага по времени, было необходимо
проинтерполировать временной ряд и заполнить пропущенные дни значениями.
Интерполяцию данных с шагом в сутки выполнена с помощью встроенной функции «interp1»
в MATLAB.

Готовая работа, которую можно скачать бесплатно и без регистрации:   Сущность планирования на предприятии

На рисунке ниже представлен исходный ряд S ежедневных значения валютной пары EUR/USD с начала 2015 года по февраль 2017.

Рисунок 1. Исходный проинтерополированный ряд S значений EUR/USD с 2015 года

Определим основные понятия торгов валютного рынка. Основной составляющей
валютных торгов, то есть операций по покупке валюты, являются трейдеры и
брокеры. Трейдер – человек, торгующий активами для извлечения прибыли за счет
изменения цен на валютном рынке. Брокер – компания-посредник, предоставляющая
доступ трейдеру к финансовым операциям на валютном рынке. В работе будет
проведен экспериментальный процесс получения прибыли (маржи) за счет покупки
валюты и анализа риска и тренда. Теперь необходимо описать сам процесс покупки
валюты на валютном рынке.

Процесс покупки, рассматриваемый в моей работе, включает следующие этапы:
трейдер покупает лот, который составляет 100000 рублей (для EUR/USD), однако вкладывает реальную сумму намного меньше,
имея некоторую маржу. Маржа – залоговые средства (депозит), которые необходимо
внести для совершения сделки на валютном рынке. Как правило трейдер совершает
сделки по покупке или продаже валюты, исходя из некоторой части всего депозита,
так как при неудачной сделке будут использованы деньги со всего счета. Такие
потери обычно могут возникнуть при выборе слишком большого плеча у брокера при
покупке валюты. Плечо или кредитное плечо – отношение займа у брокера к
средствам трейдера (марже). Плечо – коэффициент, который показывает во сколько
раз увеличится прибыль трейдера в случае удачной сделки.  Например, при покупке
валюты на сумму $100 с плечом 1:10, по факту заключается сделка на 1000$. При
изменении курса на 0,01 вы получите (либо потеряете) $10, что не так уж и
много. Заключив сделку с плечом 1/100 и приобретя уже 10000$, при таком же
изменении курса можно получить доход/убытки уже на $100, т.е. на всю величину
вложенной суммы. Таки образом торговля с большим плечом может быть, как более
прибыльной, так и более рискованной. Она может быстро привести к исчерпанию
всей маржи, доступной пользователю. В работе будет рассмотрен случай покупки
лота с плечом 1:25.

 


3. Оценки
волатильности и тренда

Рассмотрим оценки тренда и волатильности финансового временного ряда в
рамках модели    и приведем характеристики распределений соответствующих
величин.

3.1 Гистограммы значений

В финансовой сфере анализ часто производится для отношения .

В этой работе будет проводиться анализ как для исходного ряда (рис. 1),
так и для отношения цен (приращений геометрического броуновского движения).
Строя оценки для исходного ряда, мы делаем поправку на то, что оно зачастую не
соответствует нормальному распределению. Рассмотрим гистограммы для исходного
ряда S и ряда относительных цен

Гистограмма приращений  геометрического ряда представлена на рис. 2. Отношение цен в
среднем равно 1. Большое количество выбросов свидетельствует о том, что процесс
 не подчиняется нормальному закону и
имеет “тяжелые хвосты”.

Гистограмма значений исходного ряда EUR/USD
представлена на рис. 3. Очевидна ее большая скошенность и еще большее
несоответствие нормальному закону.

 

3.2 QQ график

Хорошей иллюстрацией, выявляющей как асимметрию, так и большие хвосты
распределения, является график квантиль-квантиль. График квантиль-квантиль Q-Q (от англ. Quantile-Quantile) для ряда   представлен на рис. 4. На этом
графике хорошо видны расхождения между наблюдаемыми значениями и нормальным
распределением. Там, где наблюдаемые значения попадают на красную прямую,
нормальное распределение хорошо подходит к наблюдаемым данным.

Из рисунка видно, что слева и справа на концах имеется большое количество
выбросов, следовательно, исходный ряд не подчиняется нормальному закону.

 


3.3
Коэффициенты асимметрии и эксцесса

Рассмотрим несколько характеристик отличия распределения от нормального и
их вычисление по значениям исходного ряда S.

Коэффициент асимметрии – величина, характеризующая асимметрию
распределения данной случайной величины. Коэффициентом асимметрии (англ.
“skewness”) случайной величины X со средним µ и дисперсией  определяется как

S(X) =  .

Если коэффициент асимметрии отрицательный (положительный) распределение
смещено влево (вправо). У нормально распределенных случайных величин
коэффициент асимметрии равен нулю, поскольку происходит распределение
симметрично около среднего значения.

Для вычисления коэффициентов асимметрии и эксцесса в MATLAB использована
функция “skewness(ряд)”.(S)=
0.1314

Так как коэффициент асимметрии положителен, это говорит о том, что
существует правосторонняя асимметрия. Правый конец длиннее, масса распределения
сосредоточена на левой части рисунка (рис. 5).

Коэффициент эксцесса показывает отклонение вершины эмпирического
распределения вниз или вверх от вершины кривой нормального распределения и
наличие хвостов распределения по бокам.

Эксцесс (англ. “kurtosis”) случайной величины X со средним µ и дисперсией
 определяется как  Kurt(X) =  . У нормально распределенных
случайных величин эксцесс равен 3.

Для вычисления коэффициента эксцесса в MATLAB используется функция
“kurtosis (ряд)”.(S) =    3.2538 –
высоковершинное распределение.

 

3.4
Вычисление сноса и волатильности

Теперь вычислим снос, волатильноcть и тренд для исходных данных, постепенно увеличивая интервал с конца
ряда. Будем выбирать точки на интервале длиной Т с конца временного ряда,
постепенно увеличивая интервал оценивания.

Коэффициент наклона линейного тренда определялся с помощью функции «polyfit» на каждом интервале. А
волатильность (разброс остатков) вычислялась с помощью функции «std» для остатков.

На рисунках изображен снос (линейная модель, красным) для 20 (рис. 6) и
160 дней с конца ряда (рис. 7).

На рисунке ниже (рис. 8) представлен отрезок ряда за последние 500 дней и
линейный тренд для него. Ввиду того, что евро существенно подешевело
относительно доллара с конца 2015 года, этот тренд оказался отрицателен.

Рисунок 8. Линейный тренд для 500 дней ряда S

На следующем графике слева (рис. 9) представлена зависимость для
коэффициента наклона линейной модели от длины интервала с конца ряда в
прошлое.  На разных промежутках времени снос и волатильность меняются. Если
рассматривать последние 2 месяца ряда, то можно констатировать положительный
тренд, т.е. рост котировок пары евро к доллару. При рассмотрении интервала 100
дней с конца ряда, снос становится отрицательным. Однако, в среднем, с
увеличением длины интервала, наклон уменьшается и снос стремится к нулю, что
говорит об уменьшении потенциальной доходности пары с увеличением времени
ожидания выигрыша.

Зависимость волатильности (стандартного отклонения остатков после
вычитания тренда) от длины интервала с конца ряда представлена на графике
справа (рис. 10). Из графика видно, что волатильность растет. Имеется тенденция
к увеличению волатильности с увеличением интервала времени, что говорит об
увеличении риска при более длительном ожидании выигрыша. Тот факт, что оценка
среднего (сноса) стремится к нулю с увеличением интервала наблюдений, а
дисперсия систематически растет, свидетельствует о том, что процесс имеет вид
случайного блуждания и может быть описан моделью Винеровского процесса.

При приобретении контракта на валютную сделку, чем дольше вы ждете, тем
меньше будет снос т.е. тренд и больше риск, т.е. колебания пары.

Попытаемся на основе имеющихся оценок волатильности и тренда,
предполагая, что такие же значения сохранятся и в ближайшем будущем,
спрогнозировать сценарий поведения пары EUR/USD.

С учетом того, что исследуемый процесс отклоняется от нормального и может
содержать выбросы, возьмем волатильность, умноженную на 3 (из расчета что для
нормального распределения в пределах утроенного стандартного отклонения лежит
около 99% значений). На графике рисунка 11 начиная с последней точки ряда
показан коридор (верхняя и нижняя границы), в рамках которых предполагается
изменение. Они построены на основе оценок волатильности σ(T), умноженной на . Реальные данные, на основе которых
построены оценки показаны синей кривой слева, а фиолетовая линия отражает то,
как на самом деле повела себя пара.

Готовая работа, которую можно скачать бесплатно и без регистрации:   Проектирование клининговой компании

Рисунок 11. Границы предполагаемого изменения поведения валютной пары

Видно, что резкий уход кривой вниз за рамки диапазона волатильности не
был предвиден и не укладывается в коридор. Это служит примером неустойчивости
экономических временных рядов и сложности их прогнозирования. Однако уже через
несколько недель график вновь вошел в установленный коридор.

Чтобы быть более конкретными, рассмотрим, что произошло бы, если бы мы,
опираясь на наши оценки, сделали приобрели бы контракт на выбранную пару валют.

Вначале рассмотрим контракт на покупку 0.01 лота в 100000 единиц с плечом
1:25 и курсом доллара 57 рублей.

Как уже говорилось, мы исходим и предположения что оценки тренда и
волатильности за последние 30 дней сохранятся такими же и на следующие 30 дней.
На графике ниже (рис. 12) мы взяли оценку сноса µ=0,375 пунктов в год и
провели на её основе линию от конца наблюдений. Это предполагаемый нами снос
(тренд). На основе оценки волатильности σ=0.0041, отметим нижнюю и верхнюю
горизонтальные границы на уровне 3σ=0.0122.  Выберем “стоп лосс” на
уровне нижней границы (англ. «Stop loss»- инструкции
брокеру об отмене торга при достижении цены заранее определенного уровня для
предотвращения потерь в связи с резкими изменениями на валютном рынке). Теперь
вычислим цену покупки 0.01 лота ($1000) с плечом 1:25, в нашем случае это будет
около 2283,9 рублей.

Из графика слева (рис. 12) видно, что по прогнозу курс должен был пойти
вверх, однако он резко упал, достиг значения “стоп лосс” и пошел дальше вниз.
Наличие “стоп лосс” предотвращает от больших потерь, которые могут произойти,
если не остановить торговлю. Исходя из нашей месячной оценки волатильности,
“стоп лосс” сработал, и мы получили виртуальный убыток 0.0122*1000*57=695
рублей.  Такой случай наглядно показывает, насколько рискованно делать ставки
на маленьких промежутках времени в ожидании больших прибылей.

Теперь рассмотрим случай для 60 дней (рис. 13). Так как в данном случае
мы рассматриваем больший промежуток времени, то и волатильность 3σ=0.0264, и тренд µ=0,02
оценивались по 60 дням. “Стоп лосс” был выбран больше, чем в предыдущем случае,
а ожидаемый снос (тренд) оказался меньше (рис. 13). Установив более широкие
рамки колебания значения курса, мы преодолели бы его уход вниз без срабатывания
“стоп лосса”. При ожидаемой прибыли за 2 месяца в 188 рублей, мы получили бы
виртуальный доход 459 рублей, закрыв сделку ровно через 2 месяца, когда курс
пошел вверх. Доход такой операции составил бы 20% (459/2284).

Конечно, данные частные примеры не могут вести к общим выводам о
применимости или неприменимости такого подхода к прогнозированию. Так, если бы
ситуация развивалась в обратную сторону, то с учетом плеча 1:25 можно было бы
потерять убытки в 80%, что еще раз доказывает рискованность сделок на валютном
рынке. В отсутствие статистики довольно сложно судить, но можно предположить,
что оценки волатильности и тренда, полученные по большей выборке, более
достоверны. Рассчитывать получить прибыль на валютном рынке, делая ставку на
небольшие изменения курса за короткий промежуток времени очень рискованно. И
хотя, поведение курса на больших интервалах может быть непредсказуемым из-за
большого числа экономических, политических и др. факторов, все же разумнее
опираться на медленные тренды, четко оговаривая коридор, в рамках которого
ведутся торги, и закрывая сделку в запланированное заранее время, если она
оказалась прибыльной.

 


4. Метод
авторегрессии
AR(p)

В этой части исследования рассмотрено моделирование исходного временного
ряда курса евро к доллару процессом авторегрессии AR(p) и построение
двухмесячного прогноза.

Для моделирования и построения прогноза методом авторегрессии порядка p, будем рассматривать временной ряд S за последние 600 дней. Прогноз
складывается из полиномиального, гармонического трендов и авторегрессии.

 

4.1
Моделирование трендов в данных

Прежде чем моделировать случайную составляющую ряда, необходимо
смоделировать тренды.

Для начала смоделируем полиномиальный тренд с помощью функции «polyfit» (рис. 14).

Присутствие периодичностей можно оценить на основе рассмотрения
автоковариационной функции АКФ (рис. 16) и спектра (рис. 17) значений,
полученных после снятия полиномиального тренда.

На графике справа (рис. 17) по оси абсцисс представлены периоды в днях,
по оси ординат – амплитуды колебаний. Имеется множество квазиколебаний с
периодами 85, 165, 250, 330, 440 суток. Мы смоделировали лишь одну
квазипериодичность с периодом 250 суток (рис.15)

На основе моделей тренда и гармоники с периодом в 250 дней, вычислен
прогноз детерминированной составляющей. Вычтем из исходных данных
полиномиальный и гармонический тренды и далее будем рассматривать оставшуюся
случайную составляющую.

 

4.2
Моделирование
AR(p)

Смоделируем процесс авторегрессии .

Определим коэффициенты  авторегрессии и дисперсию входного белого шума с помощью
метода Берга [3] с использованием встроенной функцией «ar» в MATLAB.
Возьмем порядок авторегрессии p=10. Прогноз будем строить на 2 месяца, то есть 60
дней. Нам понадобится серия из 60 входных значений белого шума рис. 18.

Рисунок 18. Пример 60 значений белого шума

Зная параметры авторегрессии и имея отсчеты белого шума с нужной
дисперсией, смоделируем значения авторегрессии порядка p=10. После суммирования моделей прогнозов для тренда и
случайной составляющей мы получили итоговый прогноз, показанный на рис. 19
красным.

Сравним прогноз с реальными данным, за последние 2 месяца, показанными на
рис. 19 синим цветом. Заметно, что прогноз имеет похожие колебания, например
резкий спадает в начале прогнозируемого периода. Однако значения отличаются от
реальных данных, и, при выборе других значений входного белого шума, даже могут
пойти в противоположном направлении. Все это говорит об ограниченной
применимости АР-прогноза. Он может воспроизвести резкие изменения валютной пары
EUR/USD, однако точные данные предсказать невозможно, из-за
влияния внешних факторов на валютный рынок и чрезвычайной простоты модели.

 


5.
Фрактальное броуновское движение

Классическое броуновское движение имеет фрактальное самоподобное
поведение, и характеризуется условной вероятностью, того что  достигает определенного значения при
заданном , где (<). Классическое броуновское движение
– процесс без памяти. Фрактальное броуновское движение (ФБД) – процесс, в
котором существует коррелированность, т.е. память. Этот процесс, на примере
поведения цен на акции, был впервые исследован Мальдебротом и Ван Нессом в 1968
году [5]. Фрактальное броуновское движение имеет характерный параметр –
коэффициент Херста «H», 0 < H < 1. Если H=1/2, фрактальное броуновское
движение совпадает с классическим, если H>1/2 – процесс сохраняет заданную тенденцию
(персистентен), если H<1/2 
– стремится поменять ее на обратную.

Фрактальным броуновским движение ФБД называется Гауссовский процесс,
функция распределения которого имеет следующий вид:

 

 

Закон дисперсии ФБД

Параметр Херста можно найти построения логарифмированной зависимости.

 


 

здесь  – стандартное среднеквадратическое отклонение приращений  для интервала ,  – константа.

Определим параметр Херста для временного ряда EUR/USD по
последним 800 суткам. Для этого вначале оценим стандартные отклонения в
увеличивающихся окнах, рис. 20, а затем проведем линейную аппроксимацию графика
зависимости  от , рис. 21.

Готовая работа, которую можно скачать бесплатно и без регистрации:   Анализ бухгалтерской финансовой отчетности предприятия

Для вычисления коэффициента Херста, мы подобрали прямую с помощью
встроенной функции MATLAB – «polyfit». Коэффициент наклона прямой и будет
значением параметра Херста. Мы оценили параметр Херста на основе стандартных
отклонений (рис. 20), оцененных на интервалах от 1 до 200 дней (рис. 21) и
получили значение .

Значение   говорит о том, что мы имеем дело с броуновским движением,
близким к классическому.

 


6.
Исследование мультифрактального спектра

Рассмотрим анализ мультифрактальных свойств исходного временного ряда
валютной пары EUR/USD. Анализ фрактальных и мультифрактальных свойств
временных рядов используется в сейсмологии, гидрологии, метеорологии и
медицине.  Такой анализ обладает способностью быстро выявлять смену режимов в
поведении временных рядов, прогнозировать приближение катастроф [6] и является
расширением анализа параметра Херста, представленного в предыдущей главе.
Гарольд Эдвин Херст впервые изучил мультифрактальные свойства в своей работе по
исследованию водного режима рек [7]. Закон Херста вытекает из закона дисперсии
ФБД и выглядит как:

,

где разность между минимальными и максимальными приращениями на
интервале длины t,  стандартное среднеквадратическое
отклонение приращений, H
– коэффициент Херста. Мультифрактальным броуновским движением  называется такой процесс, для
которого среднее значение квадрата приращений пропорционально , то есть

 

 

Мультифрактальное броуновское движение описывается параметром  зависящим от времени и масштаба.
Мультифрактальным спектром сингулярности, который характеризует режим
хаотических флуктуаций наблюдаемой величины, грубо говоря, можно считать
распределение этих значений  H(t).

Процесс исследования мультифрактальных свойств рассмотрен на примере
исходного временного ряда S
после вычитания низкочастотной составляющей. Для исследования применен метод
анализа флуктуаций после исключения масштабно-зависимых трендов (Detrended Fluctuation Analysis – DFA), который в последнее время все чаще используется в
исследовании мультифрактальных свойств. Метод MF DFA (Multifractal Detrended Fluctuation Analysis) был подробно развит А.А. Любушиным
в [6], на основе его применения к высокочастотным сейсмическим шумам, автору
удалось спрогнозировать землетрясение в Японии 2011 г.

Для начала сгладим исходный ряд. Получим график остаточных значений (рис.
22).

Рисунок 22. Остаточный высокочастотный ряд S

Теперь выделим участки ряда с помощью окон различной длины s=5…50. К примеру, возьмем окно длиной s=6, тогда весь ряд разделится на  непересекающихся участков (N – общее число отсчетов), каждый из
которых содержит 6 отсчетов. Будем брать значение степени q от -10 до 10 с шагом 0.1. Должны
выполняться соотношения:

 

где слева стоят нормы разброса значений  в q-й степени, усредненные по соответствующим окнам.
Справа – длины окон  в степени p.
Наша задача состоит в определении зависимостей степеней средних q-норм
разброса от р-степеней  и в вычислении распределения их наклонов. Заметим, что мы не
производим вычитания тренда на каждом интервале, как предполагается в DFA, считая, что вычитания сглаженного
ряда достаточно.   На основе разброса между максимальным и минимальными
значениями в каждом окне для каждого s вычислим функцию :

 

Тогда, построив графики зависимостей Ln от Ln для различных q (рис. 23), получим распределение
наклонов  для разных s

Рисунок 23. Графики зависимостей Ln(Z(q,s)) от Ln(s)

Заметим, что для построения оценок наклонов мы не пользовались участками
кривых с аргументом Ln меньшим 1.5 (соотв. длинами окон менее
5 точек), на котором происходит резкое падение значений Ln, не позволяющее адекватно подобрать
линейную модель.

Для нахождения спектра сингулярности необходимо вычислить  , где показатель Гельдера-Липшица для
случайных реализаций процесса. Меняя  в диапазоне от 0 до 2, мы получили
мультифрактальный спектр сингулярности в виде графика, представленного на рис.
24. При этом слева мы показали график, построенный по нормам разброса, а справа – по стандартным
отклонениям.

Видно, что максимумы в обоих случаях находятся вблизи = H = 0.5, однако для стандартных отклонений спектр
немного смещен влево, что вполне объяснимо, ведь разброс, вычисленный как
разность максимума и минимума обычно больше стандартного отклонения.

Значение максимума спектра достигается при наиболее часто встречающихся
значениях . Для монофрактального процесса для  и . Мультифрактальный процесс имеет
неотрицательный спектр для разных  . В нашем случае значение  близко к 0.5 и имеется некоторая
плотность распределения (разброс по ), что говорит о наличии
мультифрактальности во временном ряде.

Метод мультифрактального анализа находит широкое применение в геофизике,
медицине, финансовом анализе. Оценивая мультифрактальные свойства в скользящих
окнах на разных интервалах времени, можно отследить скрытые изменения в
поведении временного ряда и идентифицировать смену режимов рынка [13]. Такого
рода метод может помочь распознать изменения валютного рынка и даже
спрогнозировать кризис.

Заключение

Подводя итог проведенной работы, необходимо выделить ряд важных
результатов. Был рассмотрен временной ряд значений валютной пары EUR/USD, поведение которого допускает описание стохастическим
дифференциальным уравнением. Были вычислены показатели сноса и волатильности на
разных интервалах. На основе их оценок был выполнен прогноз ряда и смоделирована
экспериментальная сделка на валютном рынке. Результаты эксперимента показали,
что в нашем частном случае прогноз волатильности и тренда оказался эффективен
на двухмесячном интервале, но повлек бы убытки на краткосрочном интервале
времени. Показана применимость аппарата стохастических дифференциальных
уравнений к такого рода процессам. Отмечено, что с увеличением интервала
времени риски растут, а тренд процесса в среднем стремится к нулю, что
соответствует критериям эффективного рынка.

Далее в работе построен прогноз поведения временного ряда на основе
модели авторегрессии. Сравнение прогноза и реальных значений показало, что
авторегрессионный прогноз, хотя и воспроизвел общую изменчивость, не дает
верных указаний относительно направления движения валюты, ввиду своей простоты.
Это лишь подтверждает сложность прогнозирования экономических временных рядов,
их неустойчивость и влияние на них внешних факторов.

Наконец временной ряд был рассмотрен как фрактальное броуновское
движение, для него был вычислен коэффициент Херста и показано, что в нашем
случае процесс близок к классическому броуновскому движению. Был также применен
метод анализа флуктуаций после исключения масштабно-зависимых трендов DFA. Спектр сингулярности показал
наличие мультифрактальности. Такого рода анализ может быть полезным для
выявления перемен на рынке и прогнозирования кризисных ситуаций.

Список
использованной литературы

1.       Ruppert D., Statistics and Data Analysis for
Financial Engineering, Springer, 2010

2.       Franke
J., Wolfgang K. Härdle Christian, Hafner M., Statistics of Financial Markets,
Springer, 2007

.        Cedrick Collomb, Burg’s Method, Algorithm and
Recursion, 2009.

4.       Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических
временных рядов: Учеб. пособие.  М.: Финансы и статистика, 2008.

5.       Mandelbrot B. B., and J. Van Ness, Fractional
Brownian motion, fractional noises, and applications. SIAM Review, 1968.

.        Любушин А.А. Анализ данных систем геофизического и
экологического мониторинга. М.: Наука, 2007.

7.       Hurst H. E., Long Term Storage Capacity of
Reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1951.

8.       Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная
термодинамика. М.: Наука, 1985.

.        Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой
математики. М.: Фазис, 1998.

.        Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических
системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000.

.        Гитман Л.Дж., Джонк М.Д., Основы инвестирования.
Учебник. М.: Дело, 1997.

12.     Thompson J. R., Wilson J. R., Multifractal
detrended fluctuation analysis: Practical applications to financial time
series, November 29, 2014.

.        Zhang Ang-Hui, Li Xiao-Wen, Su Gui-Feng,
Zhang Yi, A Multifractal Detrended Fluctuation Analysis of the Ising Financial
Markets Model with Small World Topology, Department of Physics, Shanghai Normal
University, Shanghai, 2002.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Готовые работы
Добавить комментарий